Funzione di variabile reale

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Una funzione di variabile reale è una funzione che prende valori sull'insieme dei numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e restituisce altri numeri reali. Più precisamente, una tale funzione ha come dominio e codominio ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o un suo sottoinsieme.

È possibile generalizzare il dominio e considerare il prodotto cartesiano di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ con sé stesso un numero arbitrario di volte. La funzione prenderà uno o più numeri reali e restituirà uno o più numeri reali.^{[N 1]} Si dice dunque che l'argomento della funzione è una ${\displaystyle n}$-upla di numeri reali, o un vettore di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Le funzioni si dividono in funzioni scalari, se il codominio è un sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, e funzioni vettoriali se il codominio è un sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ per un certo ${\displaystyle n>1}$. In particolare, si dirà campo vettoriale una funzione da (un sottoinsieme di) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (con ${\displaystyle n>1}$) in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ stesso.

In generale le possibilità sono quattro (considerando ${\displaystyle n,m>1}$):

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$: la situazione più classica;
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$: una funzione scalare in ${\displaystyle n}$ variabili;
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$: una funzione vettoriale di una variabile (ad esempio quella che dato un numero restituisce parte intera e parte frazionaria);
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$: una funzione vettoriale in ${\displaystyle n}$ variabili.

Le funzioni (scalari) di una variabile reale si classificano in funzioni algebriche e funzioni trascendenti.
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